Smith Chart의 점 하나는 무엇을 말하고 있을까?

소리의 메아리처럼 incident와 reflected를 분리한다

VNA port 1이 DUT로 보내는 진행파를 a1, port 1로 돌아오는 파를 b1이라고 하자. DUT가 50 Ω reference와 정확히 같으면 이상적으로 반사가 없고 b1=0이다. open, short, 다른 impedance에서는 일부 또는 전부가 돌아온다.

두 port DUT에는 네 가지 기본 비가 있다.

S21의 숫자 21은 “port 2에서 관측, port 1에서 자극” 순서다. S-parameter를 정의할 때 자극하지 않는 다른 port의 incident wave는 0, 즉 reference impedance로 matched termination된 조건이다.

Smith Chart의 위치를 물리적으로 읽는다

• 중앙: Γ=0, Z=Z0. 50 Ω chart라면 50+j0 Ω, 완전 정합이다.
• 오른쪽 끝: open 방향, Γ=+1, 매우 큰 impedance다.
• 왼쪽 끝: short, Γ=-1, 0 Ω다.
• 위쪽 반원: positive reactance, 표준 impedance chart에서 inductive다.
• 아래쪽 반원: negative reactance, capacitive다.
• 바깥 원: |Γ|=1, incident power가 전부 반사되는 lossless open/short/reactive load다.

중앙에서의 거리가 |Γ|이므로 같은 반지름의 원 위에서는 return loss와 VSWR가 같다. 원을 따라 움직이는 것은 reflection phase, 즉 R과 X 조합이 바뀌는 것이다.

케이블을 추가하면 load가 바뀐 걸까?

이상적인 lossless 50 Ω cable을 DUT 앞에 추가하면 DUT 자체 |Γ|은 변하지 않지만 measurement reference plane이 cable 입력으로 이동한다. round-trip phase가 더해져 Smith 점은 같은 반지름 위를 회전한다. 실제 cable은 loss가 있으므로 돌아오는 파가 감쇠되어 점이 조금 중심 쪽으로 감긴다.

VSWR가 화면에서 의미하는 것

진행파와 반사파가 전송선에서 합쳐지면 위치에 따라 maximum과 minimum voltage가 생긴다. VSWR는 그 비다.

| VSWR | |Γ| | Return loss | accepted power fraction | mismatch loss | |---:|---:|---:|---:|---:| | 1.00:1 | 0 | ∞ dB | 100% | 0 dB | | 1.20:1 | 0.0909 | 20.83 dB | 99.17% | 0.036 dB | | 1.50:1 | 0.2000 | 13.98 dB | 96.00% | 0.177 dB | | 2.00:1 | 0.3333 | 9.54 dB | 88.89% | 0.512 dB | | 3.00:1 | 0.5000 | 6.02 dB | 75.00% | 1.249 dB |

VSWR가 2:1이라고 전력 절반이 전달되는 것이 아니다. 기준면에서 incident power의 약 11.1%가 반사되고 88.9%가 load 쪽으로 accepted된다. 그 뒤 load 내부에서 유용한 출력으로 변환되는지는 별도 문제다.

Signal Spine: VNA source → directional separation → DUT → receivers → ratio

VNA는 leveled source를 sweep하고 coupler/bridge로 incident와 reflected/transmitted wave를 분리해 receiver에서 coherent하게 측정한다. 따라서 SA와 달리 magnitude뿐 아니라 phase를 보존한다.

Source → test set/coupler → cable/fixture → DUT → reference & measurement receivers → complex ratio → Smith/Log Mag

2-port SOLT 또는 ECal 작업 순서

1. 측정 조건을 DUT 전에 고정한다

• Start/Stop frequency와 point 수
• IF bandwidth
• Source power
• Sweep type
• Port reference impedance, 일반적으로 50 Ω
• DUT가 active라면 bias, 안정성, reverse power 제한

IF bandwidth를 줄이면 receiver noise가 감소하지만 sweep이 느려진다. source power를 높이면 SNR이 좋아질 수 있지만 filter/PA가 compression에 들어가면 small-signal S-parameter가 아니게 된다.

2. calibration kit 정의를 확인한다

connector sex, kit model, open capacitance/short delay/load definition이 실제 standard와 맞아야 한다. 2-port SOLT라면 각 port의 open, short, load와 through를 정해진 순서로 연결한다. ECal도 connector와 주파수 범위, 상태를 확인한다.

3. calibration의 마지막 connector가 reference plane이다

cal cable 끝에서 보정했다면 그 끝이 plane이다. 그 뒤 adapter나 fixture를 추가하면 그 손실·delay·mismatch가 DUT 결과에 포함된다. fixture S-parameter를 알고 있다면 de-embedding하고, 단순한 delay라면 port extension을 사용할 수 있지만 둘은 같은 보정이 아니다.

4. verification standard로 검증한다

cal에 사용한 표준을 다시 연결하는 것만으로 독립 검증이 되지 않는다. known check standard, airline, beadless adapter 또는 별도 thru를 측정해 residual directivity, tracking, source/load match가 허용 범위인지 본다.

화면 구성: 한 parameter에 두 format

S11

• Smith Chart: complex Γ와 impedance
• Log Mag: return loss와 공진 깊이
• Phase 또는 Group Delay: 급격한 phase transition

marker에는 frequency, Re(Z), Im(Z), |Γ|, angle, return loss, VSWR를 함께 연결한다. Smith 점의 색만으로 pass/fail을 말하지 않는다.

S21

• Passive cable/filter: Insertion Loss = -20 log10|S21|를 양의 loss로 표기
• Active amplifier: Forward S21 = +20 log10|S21| dB를 gain으로 표기
• Phase/Group Delay: filter dispersion과 cable delay

같은 S21=-1 dB를 보고 “gain -1 dB”와 “insertion loss 1 dB”를 섞지 않는다. 또한 mismatched source/load에서 실제 transducer gain은 단순 |S21|²와 다를 수 있다.

S12와 세 가지 gain은 같은 숫자가 아니다

• S12 reverse isolation: port 2에서 넣은 wave가 port 1로 얼마나 돌아오는지다. Isolation = −20log10|S12|로 양의 값이 클수록 역방향 결합이 작다.
• Transducer gain GT: source가 내줄 수 있는 available power에서 load가 실제 받은 power까지의 전체 비다. ΓS, ΓL과 multiple reflection을 모두 포함한다.
• Operating gain GP: DUT input에서 accepted된 power에 대한 load power다. input mismatch 손실을 분모 앞에서 제외한다.
• Available gain GA: source available power에 대해 DUT output에서 낼 수 있는 available power다. output을 conjugate match할 수 있다는 관점이다.

Wiki lab의 2-port · gain / stability 탭에서 같은 S-parameter를 고정한 채 ΓS, ΓL을 움직여 보자. S21 readout은 그대로여도 GT, GP, GA가 서로 다르게 움직인다. 이것이 matched test-port에서 정의한 S21을 실제 bench delivered gain과 곧바로 같다고 말할 수 없는 이유다.

Stability circle은 “원 안이 위험”이라고 외우지 않는다

조건부 안정 active two-port에서는 source 쪽 ΓS가 바뀌면 Γout, load 쪽 ΓL이 바뀌면 Γin이 달라진다. stability circle은 각각 |Γout|=1, |Γin|=1 경계다. 어느 쪽이 stable인지는 S-parameter에 따라 달라질 수 있으므로 center point 같은 test termination을 넣어 |Γeffective|<1인 쪽을 표시한다. Wiki lab도 teal 점과 oxide ×를 이 직접 계산으로 그린다.

K>1, |Δ|<1, μ>1, μ′>1이면 해당 frequency의 선형 two-port는 passive source/load termination에 대해 unconditional stability 조건을 만족한다. 하나라도 실패하면 stability circle과 실제 source/load 영역을 확인한다. 이것은 한 bias·한 frequency·small-signal 판정이며 큰 drive, harmonic termination, thermal/bias oscillation까지 보장하지 않는다.

marker를 움직이며 분석하는 순서

1. S11 Smith trace에서 중심에 가장 가까운 frequency를 찾는다.
2. 같은 marker를 S11 log magnitude와 VSWR readout에 연결한다.
3. S21의 passband insertion loss/gain과 phase를 같은 frequency에서 읽는다.
4. 주파수 증가 방향 marker를 표시해 trace loop의 방향을 확인한다.
5. 급격한 loop가 fixture delay인지 DUT resonance인지 port extension 전후로 비교한다.

calibration이 완벽해도 남는 불확도

• Residual directivity: 작은 reflection을 coupler leakage와 구분하는 한계
• Source match: 반사된 wave가 source에서 다시 반사되어 DUT로 돌아감
• Load match: transmission 측정 port의 재반사
• Reflection/transmission tracking: receiver path의 frequency response 오차
• Connector repeatability: torque, pin depth, 먼지, 마모
• Cable stability: 굽힘과 온도에 따른 phase/amplitude 변화
• Noise/dynamic range: 매우 작은 S21/S12 또는 깊은 notch의 floor
• Drift: calibration 이후 온도와 시간 변화

trace가 너무 매끈하다고 불확도가 작은 것은 아니다. IFBW/averaging은 random noise를 줄여도 systematic error를 제거하지 않는다.

오해를 바로잡는 bench 문장

• “Smith trace가 회전했지만 반지름이 같으므로 match magnitude는 같고 reference-plane phase가 달라졌다.”
• “VSWR 2:1은 50% power loss가 아니라 |Γ|=1/3, reflected power 약 11.1%다.”
• “S21 log magnitude가 -1 dB인 passive DUT는 insertion loss 1 dB다.”
• “Calibration 후 adapter를 추가했으므로 marker impedance는 DUT pin이 아니라 adapter 입력에서 본 값이다.”

Γ = (ZL−Z0)/(ZL+Z0),   ZL = Z0(1+Γ)/(1−Γ)

RL = −20 log₁₀|Γ|,   VSWR = (1+|Γ|)/(1−|Γ|)

Paccepted/Pincident = 1−|Γ|²,   ML = −10 log₁₀(1−|Γ|²)

[b₁ b₂]ᵀ = [[S₁₁ S₁₂],[S₂₁ S₂₂]][a₁ a₂]ᵀ

Γin = S11 + (S12S21ΓL)/(1−S22ΓL),   Γout = S22 + (S12S21ΓS)/(1−S11ΓS)

Δ = S11S22−S12S21,   K = (1−|S11|²−|S22|²+|Δ|²)/(2|S12S21|)

GT = |S21|²(1−|ΓS|²)(1−|ΓL|²) / |(1−S11ΓS)(1−S22ΓL)−S12S21ΓSΓL|²

Γin = ΓL exp(−2γl),   γ = α+jβ

τg = −(1/2π)·dφ/df

수치 예: ZL = 100 + j0 Ω, Z0 = 50 Ω

1. Γ=(100−50)/(100+50)=1/3
2. S11 dB=20log10(1/3)=−9.54 dB
3. Return loss=9.54 dB
4. VSWR=(1+1/3)/(1−1/3)=2.00
5. Reflected power fraction=|Γ|²=1/9=11.11%
6. Accepted fraction=8/9=88.89%
7. Mismatch loss=−10log10(8/9)=0.512 dB

Smith Chart에서는 real axis 위 중앙과 open 사이, normalized resistance r=2 지점이다.

이 단원의 convention

• Z0=50+j0 Ω
• standard impedance Smith Chart와 I+jQ, counter-clockwise positive angle
• Sij: i에서 관측, j에서 incident excitation
• S11 dB=20log|S11|는 음수, return loss는 그 반대 부호의 양수
• insertion loss는 passive DUT에서 positive loss로 −20log|S21|
• accepted power는 reference plane에서 incident minus reflected power
• calibration plane과 DUT plane이 다르면 반드시 표기